Del tetrabrik al futbol
Geometría no tradicional
Vivimos rodeados de
cajas rectangulares, tubos cilíndricos y pelotas esféricas. Sin embargo,
asomándose en algunos rincones, aparecen otras figuras geométricas, menos
familiares y más curiosas. En particular, tetraedros, cintas de Moebius y
buckybolas.
El tetraedro
¿Por qué el tetrabrik se llama así? “Brick” quiere decir ladrillo y,
efectivamente, algunos de estos envases tienen la forma y el tamaño de un
ladrillo. Pero “tetra” quiere decir cuatro. ¿Cuatro qué?
a. Las paredes del
envase están formadas por cuatro capas de papel, cera, aluminio y polietileno.
b. Originalmente, el
envase se usó para una mezcla de cuatro jugos de frutas, llamado Tetra-juice.
c. Originalmente, el
envase tenía cuatro caras.
En realidad, el
material de los tetrabriks consiste en cinco o más capas de distintos tipos de
papel, aluminio y polietileno. Y su primer uso fue para envasar leche. La
respuesta correcta, por lo tanto, es la “c”: originalmente, este envase tenía
forma de tetraedro. Es decir, de pirámide de cuatro caras triangulares. Fueron
creados en 1951 por la empresa sueca Tetrapak. En la Argentina los conocimos
como “cartones” y se usaban especialmente para leche. Fueron muy populares en
la década de 1960.
Un envase con forma de
tetraedro es muy poco práctico por dos razones. Por un lado, no se puede
apilar, como sí ocurre con las cajas rectangulares o las latas cilíndricas. Por
el otro, tiene poca capacidad en relación con su tamaño. Por ejemplo, una caja
cúbica de diez centímetros de lado tiene una capacidad de mil centímetros
cúbicos (un litro) y una lata cilíndrica de diez centímetros de diámetro y otro
tanto de altura tiene una capacidad de tres cuartos de litro. En cambio, un
tetraedro de diez centímetros de lado tiene una capacidad de apenas 120 centímetros
cúbicos.
Sin embargo, los
tetrabriks originales tenían una ventaja: se podían fabricar con relativa
facilidad aplastando convenientemente los extremos de un tubo cilíndrico. A
pesar de eso, no se popularizaron definitivamente hasta que se los pudo
producir con forma rectangular. Hoy los envases tetraédricos persisten como una
curiosidad geométrica en unos cuantos productos.
La cinta de Moebius
Una tira de papel
tiene dos caras. Si unimos los extremos para formar una faja circular, esta
faja también tendrá dos caras: una cara interna y otra externa. Pero, si antes
de unir los extremos, retorcemos la cinta media vuelta, ambas caras formarán
una única superficie. El resultado será una cinta de Moebius, una figura con
una sola cara. Debe su nombre a August Ferdinand Moebius, un matemático y
astrónomo alemán que la creó, e investigó sus propiedades, hacia 1858, junto
con su compatriota Johann Benedict Listing (pero nadie habla de la cinta de
Listing).
Una superficie con una
sola cara recuerda al disco de Odín que, según el cuento de Jorge Luis Borges,
convertía en rey a su poseedor y que, por haber caído con su única cara hacia
abajo nunca más se pudo encontrar. Pero la cinta de Moebius no tiene nada de
mágico ni de poderoso. Es sólo una figura cuya única cara, si queremos pintarla
de verde del lado de afuera y de rojo del lado de adentro, no podemos porque no
hay una cara interior y otra exterior. Hay una única cara que, a lo largo de la
cinta, pasa del lado de afuera al de adentro y viceversa.
Aunque no es mágica,
la cinta de Moebius es lo suficientemente curiosa como para inspirar a muchos
artistas. El caso más conocido es el del holandés M. C. Escher, muchos de cuyos
grabados muestran cintas de Moebius de diversos estilos. La cinta también fue
usada en la literatura, el cine y hasta las historietas. El escritor y
astrónomo norteamericano Armin Deustch es el autor de “Un subterráneo llamado
Moebius”, un cuento en el que sugiere que una red ferroviaria de gran
complejidad puede adquirir propiedades extrañas análogas a la de una cinta de
Moebius. La película Moebius, del director argentino Gustavo Mosquera, está
basada en ese cuento. En El profesor no-lateral, el especialista en acertijos y
matemática recreativa Martin Gardner va un paso más allá de la cinta de Moebius
e imagina una superficie sin caras. Y en Los alucinados (Correrías de
Patoruzito, número 176) Isidorito recurre a la cinta de Moebius para asombrar a
los peones de la estancia.
La cinta de Moebius
tiene también algunas aplicaciones prácticas. De hecho, todos nosotros la hemos
usado, directa o indirectamente: las cintas de las impresoras de matriz de
puntos están retorcidas como cintas de Moebius para aprovechar toda la
superficie entintada de la cinta original. Hace bastante tiempo que estas impresoras
desaparecieron de hogares y oficinas, reemplazadas por impresoras láser o de
chorro de tinta. Pero, junto con sus entintadas cintas de Moebius, siguen
usándose en muchos lugares, como las cajas de los supermercados.
La buckybola
La geometría enseña
que solamente hay cinco sólidos regulares, cinco cuerpos geométricos donde
todas sus caras son polígonos también regulares e iguales entre sí. Además del
tetraedro y el cubo están el octaedro (formado por dos pirámides unidas por sus
bases cuadradas), el dodecaedro (una especie de pelota con doce caras
pentagonales) y el icosaedro, formado por veinte caras triangulares.
Pero hay otros cuerpos
que, aunque no tienen todas sus caras iguales, tienen una forma aproximadamente
regular. Por ejemplo, si le cortamos las puntas a un icosaedro, las caras
triangulares se convierten en hexágonos y cada vértice se convierte en un pentágono.
La figura que resulta es mucho más esférica que el icosaedro original. Tiene
veinte caras hexagonales, doce pentagonales y sesenta vértices. Esta figura se
conoce como buckybola, porque su forma recuerda las cúpulas geodésicas
diseñadas por el ingeniero norteamericano Richard Buckmister “Bucky” Fuller.
En 1985, cuatro
químicos de la Universidad de Rice, en Texas, sintetizaron una molécula
esférica formada por sesenta átomos de carbono acomodados en los vértices de
una buckybola. Lo llamaron buckmisterfullero, o simplemente fulereno, de nuevo
en honor a Buckmister Fuller y por la terminación estándar de los compuestos de
carbono.
Los fulerenos tienen
diversas aplicaciones médicas e industriales. Por ejemplo, pueden usarse para
enjaular marcadores radiactivos y luego llevarlos al interior del organismo.
Además, protegen en su interior otras moléculas que se degradarían en
condiciones normales. Los nanotubos, fibras de carbono muy delgadas y
resistentes, se rematan en sus extremos con tapas semiesféricas, equivalentes a
medio fulereno.
Aunque los fulerenos son mucho más raros que los tetrabriks y las cintas de
Moebius, las buckybolas están entre nosotros desde hace mucho tiempo:
aproximadamente desde 1970, las pelotas de fútbol tienen exactamente la
estructura de las buckybolas, con sus doce parches pentagonales y veinte
hexagonales.
Por Claudio H. Sanchez
Texto y una imagen tomados de:
del sábado 5 de enero de 2013
Traducción al alemán:
Ruth Schwittay
Otras imágenes:
Von Tetra-Brick-Verpackungen zum Fußball
Nicht traditionelle Geometrie
Wir leben umringt von rechteckigen
Schachteln, zylindrischen Röhren und kugelförmigen Bällen. Aber, wenn wir etwas
weiter schauen, kommen auch andere geometrische Figuren in Erscheinung, weniger
bekannt und kurioser. Insbesondere die Tetraeder, Möbiusbänder und Buckybälle.
Tetraeder
Warum heißt die Tetra-Brick-Verpackung so? „Brick“ heißt
Backstein, und wirklich haben einiger dieser Verpackungen die Form und Größe
eines Backsteins. Und „Tetra“ heißt vier. Vier was?
a. Die
Verpackungswände bestehen aus vier Schichten von Papier, Wachs, Aluminium und
Polyethylen.
b. Ursprünglich
wurde die Verpackung für eine Mischung von vier Fruchtsäften benutzt,
Tetra-Juice genannt.
c. Ursprünglich wies
die Verpackung vier Seiten auf.
In Wirklichkeit
besteht das Material von Tetra-Bricks aus fünf oder mehr Schichten aus
verschiedenen Papiersorten, Aluminium und Polyethylen. Und sie fanden die erste
Anwendung für Milch. Also ist „c“ die
richtige Antwort: Ursprünglich hatte diese Verpackung die Form eines
Tetraeders. Wir reden von der Pyramide mit vier dreieckigen Seiten. Sie wurden
1951 von der schwedischen Firma Tetrapack erfunden. In Argentinien kannten wir
sie als „Karton“ und sie wurden besonders für Milch benutzt. Während der 1960er-Dekade
wurde sie sehr populär.
Eine Verpackung
in Form eines Tetraeders ist nicht sehr praktisch, und zwar aus zwei Gründen.
Einerseits können sie nicht gestapelt werden, wie es mit den rechteckigen
Kartons oder mit den zylindrischen Büchsen geschieht. Andererseits haben sie
wenig Fassungsvermögen verglichen mit der Größe. Eine kubische Verpackung mit Seiten
von zehn Zentimeter Länge hat ein Fassungsvermögen von tausend Kubikzentimeter
(ein Liter); und eine zylindrische Büchse von einem Durchmesser von zehn
Zentimeter und derselben Höhe hat ein Fassungsvermögen von einem dreiviertel
Liter. Hingegen hat ein Tetraeder mit Seiten von zehn Zentimeter Länge ein
Fassungsvermögen von nur 120 Kubikzentimetern.
Trotzdem hatten
die ursprünglichen Tetra-Bricks einen Vorteil: Sie konnten relativ leicht durch
das richtige Plattdrücken der Enden einer zylindrischen Röhre hergestellt
werden. Trotzdem wurden sie definitiv nicht populär, bis sie in rechteckigen
Formen hergestellt werden konnten. Heute bestehen die tetraedrischen
Verpackungen nur für einige wenige Produkte als geometrische Kuriosität weiter.
Möbiusband
Ein Papierband
hat zwei Seiten. Wenn wir die Enden verbinden, um eine runde Binde zu bilden, wird
diese Binde auch zwei Seiten haben: eine Innere und eine Äußere. Aber wenn wir dem Band eine halbe Umdrehung
verpassen, bevor wir die Enden verbinden, werden beide Seiten eine einzige
Oberfläche bilden. Das Resultat wird ein Möbiusband sein, eine Figur mit einer
einzigen Seite. Es verdankt seinen Namen August Ferdinand Möbius, ein deutscher
Mathematiker und Astronom, der es um 1858 zusammen mit seinen Landsmann Johann
Benedict Liesting schuf (aber niemand redet je von dem Listingband) und seine
Eigenschaften untersuchte.
Eine Oberfläche
mit einer einzigen Seite erinnert an Odins Platte aus der Geschichte von Jorge
Luis Borges, die den Besitzer in König verwandelte und die, da sie mit ihrer
einzigen Seite nach unten gefallen war, nie wieder gefunden werden konnte. Aber
das Möbiusband hat weder etwas Magisches noch etwas Mächtiges. Es ist nur eine
einseitige Figur; wenn wir sie außen grün und innen rot anmalen wollen, werden
wir es nicht machen können, denn es gibt keine innere und äußere Seite. Es gibt
nur eine einzige Seite auf dem ganzen Band lang; sie läuft von der äußeren
Seite zu der inneren und umgekehrt.
Obwohl nicht
magisch, ist das Möbiusband seltsam genug, um viele Künstler zu inspirieren.
Der bekannteste Fall ist der des Holländers M. C. Escher, viele von dessen
Grafiken Möbiusbänder in verschiedenen Stilarten darstellen. Das Band kommt auch
in Literatur vor, in Filmen und auch in Comics. Der nordamerikanische
Schriftsteller und Astronom Armin Deustch ist der Autor von „Un subterráneo
llamado Moebius“ [Eine U-Bahn genannt
Möbius], eine Geschichte, in der nahe gelegt wird, dass ein Eisenbahnnetz
von großer Komplexität seltsame, einem Möbiusband ähnliche Eigenschaften bekommen
kann. Der Film „Möbius“, vom argentinische Regisseur Gustavo Mosquera, basiert
auf dieser Geschichte. In „El profesor no-lateral“ [Der nicht-seitliche Lehrer] geht der Spezialist in Rätseln und
kreativer Mathematik Martin Gardner noch einen Schritt weiter als das
Möbiusband und stellt sich eine Oberfläche ohne Seiten vor. Und in „Los
alucinados“ [Die Halluzinierten] aus „Correrías
de Patoruzito“ [Die Abenteuer des
Patoruzito], Nummer 176, greift Isidorito auf das Möbiusband zurück, um den
Hilfsarbeitern auf der Estancia zu
imponieren.
Das Möbiusband
hat auch einige praktische Anwendungen. In der Tat, alle haben wir sie direkt
oder indirekt benutzt: Die Bänder der Nadeldrucker sind verdreht wie
Möbiusbänder, damit die ganze tintenimprägnierten Oberfläche des Originalbandes
genutzt werden kann. Schon seit langem sind diese Drucker aus unseren Wohnungen
und Büros verschwunden; sie wurden durch Laser- oder Tintenstrahldrucker ersetzt.
Sie werden aber mit ihren tintenimprägnierten Möbiusbändern weiter zu vielen
Zwecken benutzt, wie z. B. in Supermarktkassen.
Der Buckyball
Die Geometrie
besagt, dass es nur fünf regelmäßige Körper gibt, fünf geometrische Körper,
deren Seiten alle regelmäßige und gleiche Polygone sind. Außer dem Tetraeder
und dem Würfel gibt es den Oktaeder (der aus zwei über ihren viereckige Basis vereinte
Pyramiden besteht), den Dodekaeder (eine Art Ball mit zwölf fünfeckigen Seiten)
und der Ikosaeder, der aus zwanzig dreieckigen Seiten gebildet ist.
Aber es gibt auch
andere Körper, die, obwohl nicht alle ihre Seiten gleich sind, doch eine
einigermaßen reguläre Form aufweisen. Wenn wir z. B. die Spitzen eines
Ikosaeders abschneiden, verwandeln sich die dreieckigen Seiten in Sechsecke und
jeder Eckpunkt in ein Fünfeck. Die resultierende Figur ist sehr viel
kugelförmiger als der originelle Ikosaeder. Sie hat zwanzig sechseckige, zwölf
fünfeckige Seiten und sechzig Eckpunkte. Diese Figur ist bekannt als Buckyball,
denn ihre Form erinnert an die durch den nordamerikanischen Ingenieur Richard
Buckmister „Bucky“ Fuller entworfenen geodätischen Kuppeln.
Vier Chemiker der
Universität in Rice haben 1985 ein kugelförmiges Molekül aus sechzig an den
Ecken eines Buckyballs untergebrachten Kohlenstoffatomen synthetisiert. Sie
nannten es Buckmisterfulleren, oder einfach Fulleren, wieder zu Ehren
Buckmister Fuller und wegen der Standartbindungen der Kohlenstoff-Verbindungen.
Die Fullerenen
haben verschiedene medizinische und industrielle Anwendungen. Sie können z. B.
zu radioaktive Markierungen in Käfighalterungen benutzt werden, um dann in das
Innere des Organismus gebracht zu werden. Außerdem schützen sie andere Moleküle
im Innern, die zu normalen Bedingungen abgebaut werden würden. Die Nanoröhren,
sehr feine und widerstandsfähige Kohlenstofffasern, werden an ihren Enden mit
halbkugelförmigen, der Hälfte eines Fulleren entsprechenden Deckel abgeschlossen.
Obwohl
die Fullerenen sehr viel seltener als Tetra-Bricks und Möbiusbänder sind, gibt
es Buckybälle schon lange: Ungefähr seit 1970 haben die Fußbälle genau die
Struktur der Buckybälle, mit ihren zwölf fünfeckigen und zwanzig sechseckigen
Waben.
Text: Claudio H. Sanchez
vom 5. Januar 2013
Übersetzung ins Deutsche: Ruth
Schwittay
Bilder:
